Matematika je viac ako čísla (2.)

matematika

Mnohé časti učiva matematiky pripadajú žiakom nadbytočné, príliš abstraktné, v praxi ne­uplatniteľné. Ktokoľvek si vie predstaviť, že hľadanie priesečníkov kružnice a elipsy je ťažká úloha, pričom jej budúce využitie je pre väčšinu otázne. Poukázať na konkrétny príklad, kde sa problém vyskytuje v našom okolí, môže jednak zlepšiť pochopenie problému, jednak potvrdiť, že aj takýto – z terminologického hľadiska extrémne náročný problém – sa dá riešiť jednoduchou úvahou bez zložitých rovníc.

Zem je najbližšie k Slnku v januári. Vtedy je od neho vzdialená 146 miliónov km. Najďalej od Slnka je v júli. Vzdialenosť medzi nimi je 152 miliónov km. Existuje deň v roku, keď je Zem od Slnka vzdialená presne 150 miliónov km?

S použitím poznatkov z fyziky načrtneme situáciu, pričom treba vysvetliť, ako vznikla elipsa a ako kružnica. Jednak posilníme medzipredmetové vzťahy, jednak ponúkneme návod na riešenie. Z obrázku je jasné, že riešenie existuje. Praktický pohľad na problém môžeme posilniť doplňujúcimi otázkami: Je v roku viac takých dní? Koľko? Viete odhadnúť, kedy asi nastávajú?

Podľa vyspelosti žiakov je možné na tomto mieste skončiť, alebo pokračovať v riešení analytickými nástrojmi. V prvom prípade stačí povedať, že tento problém dnes vedia astronómovia vyriešiť rýchlo a efektívne vďaka počítačom – a tým vytvoriť väzbu na tretí predmet, informatiku.

Skrytý zmysel výpočtov

Do výučby sa dajú začleniť aj také úlohy, ktoré odhaľujú aj iné faktory – či už matematické alebo sociálne. Takou netradičnou úlohou môže byť:

Na niektorých benzínových pumpách sa ceny uvádzajú s tromi desatinnými miestami, teda aj s desatinami eurocentov. Desatinami centu sa platiť nedá. Prečo to teda obchodníci robia?

Cieľom diskusie je naučiť žiakov vnímať informáciu ako celok a pochopiť, že všetky jej zložky hrajú určitú úlohu. V určitom zmysle je to aj prevencia pred ignorovaním „maličkých písmen pod čiarou“ v zmluvách. Žiakov treba viesť aj k tomu, aby si všímali aj iné uplatnenie čísel v okolí: S akým najväčším číslom si sa stretol? V akom výpočte alebo situácii sa vyskytovalo?

V závislosti na preberanej látke môže mať úloha viacero variantov (najmenšie číslo, najzložitejší zlomok, číslo s najväčším počtom desatinných miest a pod.) Môže ukázať na krajiny s obrovskou infláciou, či prepočty korún na eurá a naopak. 

V aritmetických operáciách sa uplatňujú zákonitosti, ktoré sa bežne nevyučujú. Trochu zamyslenia nad nimi poskytujú úlohy podobné nasledujúcim:

Ktorou číslicou sa končí súčin čísel 540 237 744 a 8 952 011 463? Prečo? Ktorou číslicou sa začína podiel čísel 8 952 011 463 a 540 237 744? Prečo?

Netreba vykonať dané výpočty. Stačí využiť vedomosti na úrovni malej násobilky. Úlohy, ktoré vyzerajú na pohľad absurdne, sa dajú využiť aj na získavanie komunikačných a organizačných zručností: Predpokladajme, že do výšky vyskočíš asi 1,5 m. Koľko spolužiakov potrebuješ na to, aby ste preskočili Eiffelovku? Je to jedna z úloh, v ktorých dochádza k rozporu medzi ich formálnou riešiteľnosťou a praktickou neuskutočniteľnosťou. Je absurdná a tacitné poznatky nám hneď naznačia, že aj v realite neriešiteľná. Napriek tomu sa dá v škole využiť na rozvoj sociálnych zručností a budovanie kolektívneho ducha. Uplatniť sa môžu aj tí, ktorým matematika príliš nejde. Vďaka zaradeniu v komunite neutrpí ich sebadôvera – zorganizujte súťaž Preskočíme Eiffelovku. Vymyslite spolu pravidlá, určite miesto a čas konania pretekov, rozdeľte si úlohy. Vyzvite na súťaž ostatné triedy.

Od čísel a vzorcov k praxi

Matematika počas tisícročí svojej existencie zhromaždila obrovské množstvo explicitných poznatkov. Známa, viac ako tisícstranová, encyklopédia matematiky kolektívu okolo profesora Rektorysa obsahuje ich významnú časť. Na druhej strane ten, kto ich chce využiť, musí mať kvantum tacitných poznatkov. Vďaka nim usúdi, ktorý z desiatok tisícov vzorcov práve potrebuje, ktorými vstupnými údajmi nahradí parametre v ňom uvedené, ako bude musieť interpretovať výsledok. Sústava potrebných tacitných poznatkov ale v knihe nie je. Je to pochopiteľné, lebo jej autori si nedokážu predstaviť všetky aplikácie, ktoré povedú k danému vzorcu.

Úlohou matematiky ako vednej disciplíny je predovšetkým nájsť riešenia a odôvodniť ich správnosť. Riešenia sú k dispozícii aj ostatným vedcom bez ohľadu na konkrétnu vednú oblasť. Pritom aj explicitné matematické poznatky vznikajú vďaka tacitným. Sú nimi skúsenosti z predchádzajúcich riešení, schopnosť „vycítiť“ postup, ktorý pravdepodobne povedie k riešeniu, ale aj schopnosť spoznať, kedy sa riešiteľ ocitol v slepej uličke. Rozvoj tacitných poznatkov je preto aj v matematike predpokladom dlhodobého úspechu.

Ak má byť vyučovanie matematiky úspešné, malo by byť postavené na upútaní pozornosti žiakov, na príbehoch. Príbehy sú historicky najstaršou formou odovzdávania poznatkov – a práve dej je nositeľom explicitných aj tacitných poznatkov zároveň. Príbeh môže nadobudnúť veľa foriem (poviedka, rozprávka, divadelná hra, filmový scenár). Môžu mať aj podobu spoločenskej aktivity (napríklad zdolanie Eiffelovej veže sériou skokov do diaľky). Tak ako podobné príbehy prežívame individuálne, individuálne sa rozvíjajú aj naše tacitné vedomosti. Napriek ich rozmanitosti a neopísateľnosti je ich postavenie nenahraditeľné. V dobe internetu nie je totiž ťažké nájsť explicitné poznatky. Lenže bez tacitných poznatkov nemajú zmysel. Preto aj tie treba počas vyučovania ponúkať. Žiakov znechucuje učiť sa nudnou formou niečo, čoho úloha
a zmysel im nie sú jasné.

Memorovanie a mechanické opakovanie osvedčených postupov by nemalo predstavovať jadro výučby. To neznamená, že isté explicitné poznatky nemajú nadobudnúť aj memorovaním, napríklad malá násobilka. Výsledkom nekonečného drilovania vzorcov a automatizovania výpočtov však môže byť iba deformované vnímanie matematiky. Pri správnom vedení zo strany učiteľa si žiaci sami začnú uvedomovať, že výpočty nie sú to, čo určuje vzťahy medzi objektmi reálneho sveta. Číslo je údaj, ktorý je dôležitý v istých súvislostiach, ale nepoužiteľný v iných. Príkladom môže byť text, v ktorom sú čísla iba zvukmi, nie hodnotami: „Ses3čka posu0 100ličku k 2rám.“ Čiže „Sestrička posunula stoličku k dverám.

Uvažovať netradične

Väčšina súčasných učebníc matematiky sa tejto problematike nevenuje – ak áno, tak v nedostatočnej miere. Preto som napísal „poloučebnicu“ Meňavce: veľký tresk. Od typickej učebnice fyziky či matematiky sa líši najmä tým, že okrem odborného obsahu má aj dej. Cieľom deja je posilniť motiváciu a vznik väzieb medzi zadaním a žiakom. Formálna stránka (vzorce, poučky) je redukovaná na úkor vysvetľovania súvislostí medzi javmi.

Veľa priestoru je venovaného úvahám: Koľko je desaťmilióntina dĺžky rovníka? Koľko potrebuješ na prejdenie tejto vzdialenosti: minútu, hodinu, deň? Pri napĺňaní poznávacích funkcií sú neštandardné a netypické úlohy rovnako užitočné ako tie tradičné. Dejovou niťou knihy je vznik a vývoj vesmíru od veľkého tresku po dnešok. Látku vysvetľujeme prostredníctvom sokratovského dialógu medzi autorom a „meňavcom“ – tvorom, ktorý existuje od veľkého tresku a celý vývoj vesmíru videl – iba nerozumie, prečo sa zmeny diali práve tým spôsobom. Vďaka dialógu je možné z hlavnej dejovej línie odskakovať k iným vedným oblastiam ako pri bežných rozhovoroch.

Najčastejšie sú preskoky medzi fyzikou a slovenčinou, odbočuje sa aj k ďalším disciplínam. Odskoky slúžia predovšetkým na odľahčenie „učiva“ vo chvíli, keď hrozí, že predlžovanie danej látky by mohlo utlmiť záujem čitateľa svojou monotónnosťou. Každé úspešné riešenie problému je príbehom vhodnej kombinácie tacitných a explicitných poznatkov – so štipkou šťastia navrch. Ak žiaci nezískajú tacitné vedomosti, memorovanie explicitných je zbytočné. Preto úlohy, ktoré riešia počas vyučovania matematiky majú byť také aj onaké: správne a nesprávne riešené, majúce zmysel aj absurdné. Úlohou učiteľa je vycítiť okamih, kedy ktorú použiť.

Neznamená to, že úloh každého typu má byť rovnaký počet. Tradičných musí byť najviac – najmä preto, lebo vytvárajú základ, bez ktorého sa nedá posúdiť nesprávne riešenie či absurdnosť a nezmyselnosť tých ostatných. Na druhej strane, učiteľ sa nesmie báť občas (vo vhodnej chvíli) použiť aj „deformované, deštruktívne“ úlohy. Žiakov nimi dokáže prebrať z apatie a ukázať im, že matematika nie je iba suchopárna veda, ale oblasť žijúca vlastným, zaujímavým životom.

Prejsť na prvý článok: Matematika je viac ako čísla (1.)

Matematika je viac ako čísla (2.)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Scroll to top