Prečo je dôležité dávať žiakom aj neštandardné matematické úlohy?
Vo verejnosti prevláda názor, že matematika sú čísla a manipulácie s nimi. Narastajúce vzdelanie posilňuje predstavu, že ide predovšetkým o procesy abstrakcie a schopnosť prezentovať realitu symbolicky. Zdôrazňuje sa prevaha formalizmu nad porozumením – až do extrému, že „na matematike nie je čo chápať, treba ju vedieť vykonávať“. Verte či nie, aj toto som počul od istého učiteľa. Dôsledky takého „vzdelávania“ vidieť na riešení úlohy: „Na pastvine je 125 oviec a 5 psov. Aký starý je pastier?“ Žiak, vycvičený školou, že každé zadanie treba zavŕšiť číslom, sa nedá zahanbiť: „125+5=130 to je príliš veľa a aj 125–5 je ešte veľa, ale 125/5=25 vyzerá rozumnejšie. Pastier má 25 rokov.”
Úloha je, samozrejme, neriešiteľná. Počet oviec a psov nesúvisí s vekom pastiera. Tomu, kto sa nechá strhnúť číslami, je najlepšie odpovedať protiotázkou: „V noci prišiel medveď a strhol 10 oviec. Aký starý je pastier teraz?“
Prostredníctvom vhodne volených a ľahko zrozumiteľných úloh ukážem, že:
- Z prítomnosti čísel v texte nevyplýva nutnosť počítať.
- Z praktického hľadiska môže byť nepresný výsledok užitočnejší ako presný.
- Matematické úlohy sa dajú využiť aj na rozvoj nematematických vedomostí a zručností.
Znalostný manažment
Jeden z moderných prístupov k manažmentu – znalostný manažment – rozlišuje dva druhy poznatkov:
- explicitné poznatky – dáta, fakty, vzorce, zákony a iné presné a zrozumiteľné návody,
- tacitné poznatky – vnímanie súvislostí, aplikovateľnosť tvrdení v daných podmienkach, posúdenie zmysluplnosti vzhľadom na daný problém, ale aj všeobecnejšie platné zásady, akými sú systém spoločensky akceptovaných hodnôt, schopnosť sociálnej komunikácie, vzťahy jednotlivcov v skupine riešiteľov atď.
Explicitné poznatky sa dajú zachytiť pomocou médií. Sú v knihách, v učebniciach, na internete. Tacitné poznatky sú iba v našich hlavách. Úspech vo vzdelávaní dosiahne iba ten, kto dokáže obidve tváre poznania skombinovať a vhodne ich využívať.
Explicitné poznatky nestačia
Naše školské vzdelávanie sa orientuje na získavanie explicitných poznatkov. Od žiakov sa očakáva, že tie tacitné si vybudujú sami. Nejaké si určite vybudujú. Otázkou zostáva, či to budú tie želané. V úlohe s pastierom žiak použil (tacitnú) skúsenosť: Všetky úlohy v učebnici, ktoré obsahovali čísla, mali číselný výsledok. Táto ho tiež musí mať. Tvrdiť, že samotná úloha je nezmyselná, sa preto neodvážil, hoci mu to možno napadlo. Využil tacitné vedomosti, ktoré mu vraveli, že výsledok by sa mal pohybovať v „rozumnom“ intervale, povedzme 15 až 70 rokov. Želanie nájsť ho potlačilo skutočnosť, že nemá kalendárne dáta. Jednoducho si ich „vyrobil“ zo znenia úlohy.
Výsledok je síce v rozpore s racionalitou, nie je však úplne iracionálny, je skôr nie-úplne-racionálny. Nie-úplne-racionálne správanie už dávnejšie pozorovali psychológovia aj u oveľa vzdelanejších jedincov, dokonca aj v situáciách, keď takéto správanie viedlo k vážnym dôsledkom, napríklad u manažérov. Daniel Kahneman, ktorý ako prvý začal skúmať tento jav, získal za svoje výsledky Nobelovu cenu. (Nie za lekárske vedy – za ekonómiu!)
Ak chceme žiakom ozrejmiť riziko straty úsudku a „prematematizovania“ svojich úvah, mali by sme im dávať aj neštandardné úlohy. Také, ktoré ich budú nútiť položiť si otázku, či výpočet je cestou k riešeniu. Kontrast vidieť na nasledujúcich „trojčlenkách“:
- Jeden kôň váži 700 kg. Koľko váži 10 koní?
- Jeden kôň beží rýchlosťou 20 km/h. Akou rýchlosťou beží 10 koní?
- Jeden kôň je bielej farby. Akej farby je 10 koní?
Namiesto hľadania „riešenia“ je užitočnejšie diskutovať, v ktorých z nich sa aritmetické operácie (v danom prípade násobenie) dajú použiť. Venovať sa možno aj riešiteľnosti zadaní: U ktorých druhov zvierat vieme určiť výsledok tretej úlohy a u ktorých nie? Prečo?
Žiakov baví vymýšľať podobné úlohy. Pre ilustráciu uvádzam podobnú sériu:
- Máme doma tri mačky.
- Jedna mačka chytí za deň tri myši. Koľko myší chytia za deň všetky mačky?
- Jedna mačka vylezie na vrchol stromu za dve minúty. Ako rýchlo vylezú na strom tri mačky?
- Najstaršia mačka sa volá Cilka. Ako sa volajú všetky mačky?
Záujem žiakov sa dá využiť na hlbšie pochopenie pojmov, akými sú riešiteľnosť a vypočítateľnosť. Hoci ide o náročné filozofické koncepty, na intuitívnej úrovni sú zvládnuteľné v každom veku.
Nepresná hodnota môže byť užitočnejšia ako presná
Ďalším častým nedorozumením je presvedčenie, že matematika nás mám naučiť presnosti, lebo tá je nadovšetko. Ani to nie je pravda, ako zistíme z ďalšej série otázok:
- Koľko máš rokov?
- Koľko máš mesiacov?
- Koľko máš týždňov?
- Koľko máš dní?
Najmenej presnú hodnotu dáva odpoveď na prvú otázku, posledná dá najpresnejšiu. Napriek tomu používame najčastejšie prvú, ďalšie iba pri novorodencoch a batoľatách. Prečo?
V reálnom živote – na rozdiel od matematiky – nie je vždy dôležité pracovať s presnými hodnotami. Je užitočnejšie vedieť, že niekto má niečo vyše 38 rokov ako to, že má presne 14 068 dní. Vek v rokoch sa ľahšie pamätá, zriedkavejšie sa mení a dotyčného generačne zaraďuje. V sociálnej komunikácii ľudia uprednostňujú tieto funkcie. Počty týždňov, mesiacov a dní ich nespĺňajú.
V reálnom živote používame nepresné (približné) údaje často preto, lebo presné sa zistiť nedajú. V podstate je vylúčené zistiť počet obyvateľov Slovenska. Počas rátania takmer s istotou niekto zomrie, niekto sa narodí, ďalší sa natrvalo odsťahuje a tak ďalej. Približný údaj (päť a pol milióna) je oveľa vhodnejší. V praxi sa využívajú mierne zastarané údaje, napríklad z predchádzajúceho sčítania obyvateľstva, alebo odhady demografického vývoja.
Podobne to platí pre štatistické údaje. Hoci agentúry na prieskum verejnej mienky zverejňujú prieskumy volebných preferencií s presnosťou na jedno desatinné miesto, netreba im príliš dôverovať. Neodstrániteľná chyba, ktorej sa v dôsledku výberu vzorky dopúšťajú, je okolo 3 %. Uvádzanie desatinných miest je preto skôr snahou agentúry pôsobiť „informovane“ a „vedecky“ než reálnym odrazom názorov voličov. (A to neberieme do úvahy, že respondenti v prieskumoch občas klamú.)
Práve vďaka tacitným poznatkom – po uvedomení si nepresnosti údajov a orientačného charakteru výsledku – sa dokážeme pomocou informácie orientovať a získať dostatočne dobrý obraz daného stavu. Odhady je vhodné precvičovať aj so žiakmi. Možno začať jednoduchými úlohami, ktoré ich nútia vnímať kontext, do ktorého je úloha vložená:
- V ktorom meste chodí viac žiakov do základnej školy – v Košiciach alebo v Poprade?
- Ktorými vlakmi sa denne odvezie viac cestujúcich – rýchlikmi alebo osobnými?
- Zostaň bez pohybu tam, kde si. Odhadni, koľko okien má tvoja škola.
- Koľko (približne) žiakov má tvoja škola? Ako si uvažoval, kým si prišiel k výsledku?
Súčasná matematika často vedie k memorovaniu vzorcov, k zručnosti pri aritmetických operáciách a geometrických konštrukciách. Mala by si viac všímať svoje limity – a žiakom im ich vhodnými prostriedkami podávať. Byť presný za každú cenu nevedie k získaniu dobrej reputácie. Žiaci skôr či neskôr disproporciu zistia a ich nechuť počítať dôsledne a presne (aj to, čo sa dá) porastie.
Pokračovanie – Matematika je viac ako čísla (1.)